Максимальное значение погрешности равно при этом

ΔА = ΔX + ΔY. (13)

Такая ие будет наибольшая абсолютная погрешность при

А = X – Y. Таким макаром, относительные погрешности величин, являющихся суммой либо разностью двут! характеристик, равны соответственно :

и (14)

Пусть сейчас A = X.Y - тогда

Пренебрегая слагаемым второго порядка малости |ΔX. ΔY| имеем :

(15)

либо (16)

Если , то

Наибольшее значение погрешности ΔА получится в случае, если Максимальное значение погрешности равно при этом погрешности в числителе и в знаменателе данного выражения взять с различными знаками. Тогда можно записать :

Тут мы пренебрегли членами (ΔY)2 и ΔX. ΔY . Наибольшая абсолютная погрешность равна в данном случае

, (17)

а относительная погрешность, как и в (16), равна

Приобретенные результаты просто обобщаются на случайное количество сомножителей. Если в самом общем случае

,

где Максимальное значение погрешности равно при этом С — неизменный коэффициент, а α, β, γ, ... — любые целые либо дробные числа, то относительную погрешность косвенного измерения величины А можно записать в виде :

(18)

Простота последнего выражения показывает на то, что почти всегда комфортно оценить поначалу относительную погрешность косвенного измерения, а позже уже отыскать его абсолютную погрешность. Следует, но, направить внимание на то событие, что приведенные Максимальное значение погрешности равно при этом формулы применимы исключительно в том случае, если характеристики X , Y , Z , .... не зависят друг от друга. Если же, например, , где Z = X + Y расчет по формуле (18) приведет к неправиль­ному результату, т.к. погрешности одной и той же величины Y будут приписаны разные знаки, так как Максимальное значение погрешности равно при этом обозначенная величина бытует как в числителе, так и в знаменателе начального выражения.

Более общие правила вычисления погрешностей, позво­ляющие избежать схожих ошибок, можно получить, исполь­зуя дифференциальное исчисление.

Пусть как и раньше A = ƒ(X, Y, Z, …) . Тогда отно­сительную погрешность косвенного измерения можно записать в виде . С другой стороны Максимальное значение погрешности равно при этом, Таким макаром, относительная погрешность величины А равна полному дифференциалу на­турального логарифма функции, определяющей зависимость данной величины от измеряемых, т.е.

Таким макаром, для нахождения нужно:

1) прологарифмировать начальную формулу ln A = ln ƒ(X, Y, Z, …)

2) продифференцировать приобретенное уравнение, заменив потом дифференциалы dA , dX , dY ... погрешностями ΔA , ΔX , ΔY , ... ;

3) сгруппировать члены, содержащие одни Максимальное значение погрешности равно при этом и те же погрешности, вынести эти погрешности за скобки, а выражения в скобках взять по модулю;

4) поменять знаки “-” перед коэффициентами при погрешностях на символ “+” (для нахождения наибольшего значения Е).

Общая формула для расчета относительной погрешности будет при всем этом смотреться последующим образом:

, (19)

В свойства примера приведем оценку относительной погрешности Максимальное значение погрешности равно при этом величины γ, вычисляемой по формуле , где средние значения характеристик, приобретенные после проведения серии измерений (отсчеты по шкале мано­метра в работе 1.65 ).

Нужно сказать, что расчет по формуле (20) приводит, обычно, к завышению погрешности результата косвенных измере­ний. При этом это завышение находится в зависимости от числа характеристик Х , Y , Z , ... Если Максимальное значение погрешности равно при этом, к примеру, имеется 5 таких характеристик, то возможность того, что все ошибки будут иметь данный символ равна . При большем их числе обозначенная возможность будет еще меньше. Таким макаром, понятно, что очень вероятное значение относительной погрешности, даваемое выра­жением (20), в почти всех случаях существенно больше реальной погрешности результата.

Теория Максимальное значение погрешности равно при этом вероятностей дает более правильные формулы для оценки погрешностей косвенных измерений. Если при пря­мых измерениях характеристик X , Y , Z ... доминирующей является случайная погрешность, то погрешность косвенного измерения также является случайной величиной. Это значит, что следует находить среднюю квадратичную погрешность резуль­тата. Так, если A = X + У , то заместо выражений Максимальное значение погрешности равно при этом (13) и (14) будем иметь :

и (21)

Общая формула для расчета относительной погрешности будет в данном случае иметь последующий вид :

(22)

либо

(23)

А именно, при имеем:

(24)

Следует выделить, что расчет погрешностей по формулах (22) - (24) лучше создавать в тех случаях, ког­да погрешности измеряемых характеристик имеют, в главном, слу­чайный нрав. В критериях же, к примеру, учебной лаборато Максимальное значение погрешности равно при этом­рии. ввиду несовершенства измерительных устройств приходится приемущественно иметь дело с приборными погрешностями. При всем этом большая часть величин, входящих в расчетную формулу, изме­ряются только один раз. К тому же общее число характеристик обычно невелико. Потому можно советовать для оценки погрешностей косвенных измерений более обыкновенные формулы (13) – (20).

Очень Максимальное значение погрешности равно при этом нередко в выражении, применяемом для определения разыскиваемой величины, встречаются характеристики, которые в данном опыте конкретно не измеряются. Это могут быть табличные величины (π , g , и т.п.), или величины, определенные кем-либо заблаговременно и выставленные в виде готового результата (к примеру, масса гири либо поперечник катушки, заклю­ченной снутри установки Максимальное значение погрешности равно при этом). Так как обозначенное величины не являются полностью четким, следует учитывать вклад соответственных погрешностей в погрешность вычисляемого результата (см. работы 1.01, 1.25).,

Для оценки погрешности в этих случаях (если, естественно, последняя не задана в очевидном виде) может быть рекомендовано последующее общепринятое правило: абсолютная погрешность берется равной половине единицы меньшего разряда, представленного в Максимальное значение погрешности равно при этом числе. Так, если задана плотность воды

ρ = 4,0380·103 кг/м3, то погрешность следует взять рав­ной 0,00003 кг/м3

Обозначенный метод оценки погрешностей вытекает из того факта, что последняя цифра в числе уже не является в боль­шинстве случаев четкой (смотри ниже правила округления). Что касается табличных величин, то они по мере Максимальное значение погрешности равно при этом надобности мо­гут быть взяты с очень большой точностью. Тогда связанными с ними ошибками третируют. При значимом же округлении этих величин погрешности растут и, в принципе, должны быть учтены. Их расчет обычно ведется по общепринятому правилу, т.е. если употребляется значение π = 3,14, то Δπ = 0,005.

Рассчитав совсем относительную погрешность Е , находят потом Максимальное значение погрешности равно при этом абсолютную погрешность косвенного измерения ΔА = Е·А. (25)

Обработка результатов измерений

Все экспериментальные данные, получаемые в итоге прямых измерений, должны быть занесены в специальную табли­цу ( либо таблицы). Для величин, значения которых измерялись по нескольку раз, нужно подсчитать среднее арифмети­ческое серии измерений. При всем этом следует пенить, что точ­ность обработки Максимальное значение погрешности равно при этом числового материала должна быть согласована с точностью самих измерений. Обычно при вычислении средних значений рекомендуется оставлять на одну значащую цифру больше, чем содержится в конкретно измеренных значе­ниях.

Потом нужно произвести оценку случайной погреш­ности. Применяемые для расчетов средней квадратичной ошиб­ки значения ΔXi и (ΔХi)2 комфортно поместить в ту же Максимальное значение погрешности равно при этом таблицу, где находятся результаты опытов (т.е. значения Xi). Для сопоставления там же обычно указывают и погрешности использовавшихся устройств.

Расчет конечного результата измерений, которые являют­ся почти всегда косвенными, делается один раз. При всем этом в расчетную формулу подставляются средние значения измеренных характеристик. Предстоящая обработка сводится к Максимальное значение погрешности равно при этом вы­числению относительной и абсолютной погрешностей по изло­женной методике.

Для правильной записи конечного результата в виде (12) нужно округлить значение абсолютной погрешности и сам итог измерений. Обычно, точность оценки погрешности оказывается очень маленькой, в особенности в тех случаях, когда число входящих в расчетную формулу парамет­ров велико. Потому абсолютная погрешность Максимальное значение погрешности равно при этом округляется, обычно, до одной означающей числа. Если, но, эта цифра оказалась единицей, следует бросить две значащие числа.

Округление самой измеренной величины следует проводить, беря во внимание ее абсолютную погрешность. При всем этом последняя означающая цифра в приводимом итоге должна быть такого же по­рядка величины (находиться в той же десятичной Максимальное значение погрешности равно при этом позиции), что и погрешность. Все более маленькие разряды не несут ника­кой инфы и должны быть отброшены (либо изменены ну­лями). В особенности строго следует придерживаться этого пра­вила в тех случаях, когда погрешность не указывается в яв­ном виде, потому что конкретно последний разряд числа, дающего Максимальное значение погрешности равно при этом значение физической величины, указывает точность ее оп­ределения. Либо, к примеру, в итоге расчетов получено, что J = 0,1428 кг·м3, ΔJ = 0,00791 кг·м3, то правиль­ная запись конечного результата будет смотреться так :

J = 0,014 ± 0,008 кг·м3.

В неких случаях при обработке результатов измере­ний комфортно воспользоваться графическим способом. Этот способ Максимальное значение погрешности равно при этом позволяет проследить зависимость одной физической величины от другой (к примеру, зависимость периода колебаний физи­ческого маятника от расстояния меж его центром тяжести и осью вращения ). Время от времени построение графиков нужно для определения усредненных значений тех либо других характеристик. ( Можно, например, отыскать ускорение тела по графику зависи­мости пути от квадрата времени Максимальное значение погрешности равно при этом).

При построении графиков обычно употребляется прямоуголь­ная систем координат с равномерным масштабом по осям Х и Y. Значения аргумента следует откладывать по оси X , а значение функции - по оси Y. Масштаб может быть произ­вольным, но при его выборе советуем управляться последующими указаниями.

Проводимая кривая должна занимать весь Максимальное значение погрешности равно при этом лист используе­мой миллиметровой бумаги. При всем этом следует подразумевать, что скрещение координатных осей совершенно необязательно должно совпадать с нулевыми значениями аргумента и функции. Важную роль играет также удобство построения и использова­ния графиком. Нужно потому выбирать таковой масштаб, чтоб координаты хоть какой точки графика были бы стремительно Максимальное значение погрешности равно при этом и просто определены. Это условие всегда производится, если в единице масштаба (к примеру, в 1 см) заключается 10n , 2·10n либо 5·10n единиц измерения физических величин, откладываемых по осям координат (n - хоть какое целое число).

После того, как масштаб избран, следует начертить коор­динатные оси, отметив на их деления масштаба. и указать Максимальное значение погрешности равно при этом буквенные обозначения и размерность откладываемых величин. Если эти величины очень малы (либо очень значительны) при нане­сении масштаба комфортно использовать рационализированную фор­му записи, указывая порядок величины рядом с ее буквенным обозначением. При всем этом допускается два вида записи. Пусть, к примеру, индукция магнитного поля катушки с Максимальное значение погрешности равно при этом током изменяется в границах (2÷8) 10-5 Тл. На графике зависимости В(I) около делений масштаба нужно проставить числа 2, 3, 4 и т.д., а сверху написать или В, 10-5 Тл, или Вx10-5, Тл.

Приобретенные экспериментальные данные наносятся в виде графика Y = Y(Х), где точки имеют координаты Хn , Yn , окруженные эллипсами с главными полуосями Максимальное значение погрешности равно при этом ΔXn , ΔYn . Эллипсы отражают погрешности измерения. Нередко заместо эллип­сов отрисовывают крестики, точки, кружочки и пр. Потом строится кривая, демонстрирующая вид изучаемой функции. Кривая должна быть плавной и может проходить как через эксперимен­тальные точки, так и в конкретной близости от их. Лучше, чтоб обозначенные точки оказались па обе стороны Максимальное значение погрешности равно при этом кривой, примерно на схожих от нее расстояниях.

Для более четкого построения разыскиваемой кривой ис­пользуют так именуемый способ меньших квадратов (см. Дополнение). Следует выделить, что обозначенный ме­тод не дает ответа на вопрос, какого вида функция лучшие образом аппроксимирует данные точки, а позволяет только избрать более подходящую кривую Максимальное значение погрешности равно при этом определенного вида (пара­болу, прямую, экспоненту и т.д.).

Обычно, отклонение точек от кривой не должно превосходить абсолютную погрешность проведенных измерений. Эти погрешности, как уже говорилось, могут быть указаны на гра­фике в виде эллипсов либо отрезков, отложенных от каждой точки (рис. 2). Сильное отклонение отдельных точек от аппроксимирующей кривой связано Максимальное значение погрешности равно при этом в главном с ошибками, до­пущенными при восполнении опытов. Поэтов лучше строите графики в процессе измерений либо сразу после их, чтоб иметь возможность выявить подобные ошибки, именуемые про­махами, и по мере надобности, провести дополнительные изме­рения.

Построение графика в процессе опыта позволяет также выполнить более рациональное количество Максимальное значение погрешности равно при этом измерений. В тех областях, где ход кривой однообразный, можно ограничиться маленьким числом измерений. Поблизости максимумов, минимумов и точек перегибов кривой измерения нужно создавать значитель­но почаще.

Пользуясь приобретенной кривой, можно оценить значения изучаемой функции для тех значений аргумента, которые не­посредственно не наблюдались (интерполяция). Для этого из хоть какой точки на Максимальное значение погрешности равно при этом оси абсцисс (в границах спектра конфигурации аргумента) нужно провести перпендикуляр до скрещения с кри­вой. Его длина с учетом масштаба даст значение разыскиваемой функции, соответственное избранному значению аргумента. Пример­ный вид графика, построенного по экспериментально получен­ной зависимости напряжения на конденсаторе колебательного контура от частоты генератора (обязанные колебания), показан Максимальное значение погрешности равно при этом на рисунке 2.

Электрическая версия лабораторных работ по физике

© Otl. Company Ltd. 2000г.


malchik-v-sandaliyah-i-bez.html
malchiki-10-11-klass-distanciya-3000-m.html
malchiki-2003-gr-i-mladshe-distanciya-2-km.html